Различие примерно такое же, как между русскими словами
самостоятельно (on my own = by myself = alone) и
лично (myself).
Если необходимо подчеркнуть отсутствие чьей-либо помощи, то следует использовать on my own:
I drew this picture on my own = Я написал эту картину самостоятельно (в одиночку)
Если же неважно, помогал кто-либо или нет, а важно, что созданная вещь - результат личных усилий, то:
I drew this picture myself = Я лично написал эту картину (возможно, не без помощи кого-то ещё, но не это главное; главное то, что данная картина - моё личное произведение).
Почитайте также темку
Myself/on my own/by myself на форуме EnglishForums.